直方图均衡化 Histogram Equalization

直方图均衡化被认为是提升图像对比度最为有效的方法，它的基本思想是用数学方法重新调整像素的亮度分布，使调整后的直方图具有最大的动态范围，每个桶（bin/bucket）盛纳的像素数量几乎相等。

用数学语言描述，假设均衡前直方图的像素密度函数为 p(x)，每个桶的宽度为 dx，则每个桶的像素数量为 p(x)dx。假设均衡后像素密度函数为 p(y)，且 p(y) 为常数，不妨取 1。

直方图均衡的方法是 dy=p(x)dx，意义是将源直方图 dx 宽度所盛纳的 p(x)dx 个像素映射到目标直方图的 dy 宽度中，映射前后像素数量不变，密度发生变化，意义如下图所示。

显然直方图均衡前后图像的总像素数量应保持不变，所以有约束方程

\[ \int_{0}^{1} p(x)dx = \int_{0}^{1} dy = 1 \]

我们的最终目标是求解 x 与 y 的映射函数 y=f(x)，这个的问题并不困难，

\[ y = f(x) = \int_{0}^{x}p(u)du = P(x) - P(0) = P(x) \]

这个公式可以理解为，x 对应的 y 值是原图上 0~x 这些像素的概率之和。原图中最大的 x 对应 y=1。

下面一组图显示了直方图均衡改善图像对比度的效果。

下图是对直方图拉伸和均衡两种方法的效果做比较。

直方图均衡的局限

朴素的直方图均衡算法对整幅图像的像素使用相同的变换公式，当图像像素值分布比较均衡时效果较好。如果图像的颜色比较集中，比如存在明显的暗区或亮区，则这些区域的处理效果会不太理想。

分色问题

当原图的直方图比较集中时，这意味着原图实际上只出现了少数几个颜色值，如果对原图进行拉伸操作，则这些颜色之间的距离就会变大，直方图上留下了更多概率为 0 的空洞，这样，原本比较接近的颜色在拉伸后的图上会出现显著的差异，图像出现颜色分层现象（banding），或者叫分色现象。

对齐问题

直方图均衡的一个重要特征是把原图中最亮的像素对齐到预设的最大值（比如 8bit 图是 255）。当原图中颜色比较丰富时，这个操作一般问题不大。但是也会有有一些比较极端的情况，比如原图中所有像素都是一个值（例如 8，这对应一幅纯黑的图像，多半是拍摄于夜间），则均衡之后所有像素都被映射到 255，图像变成了纯白的。于是，直方图均衡相当于无脑改变了原图的色调，而不管这种改变是否合理。

噪声问题

直方图均衡算法一种常见的问题是放大暗区的噪声，其根源也是对齐问题。如果一个区域的像素分布大体是均匀的，但是图像中带有一些噪声，则 HE 变换函数会把原图中很窄的 x 值分布映射到整个 y 值空间，这同时也就放大了原图中的噪声。

自适应直方图均衡 Adaptive Histogram Equalization（AHE)

参考人类视觉的局部性原理，人们提出了自适应直方图均衡算法（AHE），基本思想是将图像分成若干个区域（tile），比如 8x8=64 个 tile，直方图均衡的基本单位不再是整个图像，而是对每个小区域做直方图均衡。AHE 更适合于用来改善图像的局部对比度，以及增强图像边缘信息，但是并没有解决直方图均衡会放大图像噪声的问题。