MTPA

为什么要用 MTPA

当电机采用 id=0 的控制策略，这种控制方法忽略了磁阻转矩的作用，电磁转钜方程如下：

\[ \tau _e = \frac{3}{2}p[k_e \cdot i_q + (L_d - L_q)\cdot i_d \cdot i_q] \]

转矩分为永磁转矩 Tr 和磁阻转矩 Tm，而 id=0 只剩下 Tr。这会导致电流的利用率不高，系统的效率降低。所以 id=0 的控制比较适用于隐极式电机（Ld=Lq），而对于凸极式电机并不最优，所以需要重新考虑控制策略。

推导过程

电动机电压方程：

\[ \begin{aligned} U_d = rI_d - L_qI_q\omega_e \\ U_q = rI_q + k_E\omega_e + L_dI_d\omega_e \end{aligned} \]

那么电动机消耗对有功功率为：

\[ P = \frac{3}{2}(U_dI_d + U_qI_q) \]

将电动机方程代入功率方程得：

\[ P = \frac{3}{2} r (I_d^2 + I_q^2) + [k_EI_q + (L_d - L_q)I_dI_q]\omega_e \]

电动机的有功功率一部分消耗在绕阻电阻上发热，另一部分用于输出机械功率：

电动机的机械功率为：

\[ P_{mech} = \tau_e \omega_{mech} \]

机械转速与电频率之间的关系为：

\[ \omega_e = p \omega_{mech} \]

所以：

\[ \tau_e \omega_{mech} = \frac{3}{2} r (I_d^2 + I_q^2) + [k_EI_q + (L_d - L_q)I_dI_q] p \omega_{mech} \]

得到电磁转钜公式：

\[ \tau _e = \frac{3}{2}p[k_e \cdot i_q + (L_d - L_q)\cdot i_d \cdot i_q] \]

如果绕阻中电流峰值是 I_s

\[ I_s^2 = I_d^2 + I_q^2 \]

当输出电磁转钜一定时：

\[ I_q = \frac{\tau_e}{\frac{3}{2}p[(k_E) + (L_d - L_q)I_d]} \]

联立上两式得：

\[ I_s^2 = I_d^2 + \left ( \frac{\tau_e}{\frac{3}{2}p[(k_E) + (L_d - L_q)I_d]} \right )^2 \]

上式可以看作是一个关于\(I_d\)的函数，上式有最小值，当电磁转钜一定时，有一个最小峰值电流\(I_s\)，取\(I_s\)最小时有：

\[ \begin{aligned} \frac{\partial I_s^2}{\partial I_d} &= 2I_d + 2I_q \frac{\tau_e}{\frac{3}{2}p} \frac{-(L_d - L_q)}{[k_E + (L_d - L_q)I_d]^2} \\ & = 2I_d + 2I_q \frac{\tau_e}{\frac{3}{2}p[k_E + (L_d - L_q)I_d]} \frac{-(L_d - L_q)}{[k_E + (L_d - L_q)I_d]} \\ & = 2I_d + 2I_q^2\frac{-(L_d - L_q)}{[k_E + (L_d - L_q)I_d]} = 0 \end{aligned} \]

整理得：

\[ (L_d - L_q)I_d^2 + k_EI_d - (L_d - L_q)I_q^2 = 0 \]

求解\(I_d\)得到：

\[ I_d = - \frac{k_E}{2(L_d - L_q)} \pm \sqrt{\left ( \frac{k_E}{2(L_d - L_q)} \right )^2 + I_q^2} \]

如果\(L_d < L_q\)时当电磁转钜一定时电流峰值\(I_s\)最小：

\[ I_d = - \frac{k_E}{2(L_d - L_q)} - \sqrt{\left ( \frac{k_E}{2(L_d - L_q)} \right )^2 + I_q^2} \]

弱磁控制

简介

弱磁控制的这个思想源还是来自他励直流电动机的调磁控制。当他励直流电动机端电压达到最大电压时，只能通过调节电机的励磁电流，进而改变励磁磁通，在保证输出电压最大值不变的条件下，使电机能恒功率运行于更高的转速。也就是说，他励直流电动机可以通过降低励磁电流达到弱磁扩速的目的。对于 PMSM 而言，励磁磁动势因永磁体产生而无法调节，只能通过调节定子电流，即增加定子直轴去磁电流分量来维持高速运行时电压的平衡。达到弱磁扩速的目的。

推导

很多应用需要马达工作在高于额定速度的范围内，这里就需要弱磁控制来实现，电流的电压约束条件如下：

\[ (L_qI_q)^2 + (k_E + L_dI_d)^2 \leqslant \frac{U_{1-limit}^2}{\omega_e^2} \]

电流幅值约束条件：

\[ I_d^2 + I_q^2 \leqslant I_{s-limit}^2 \]

MTPA 下有\(I_d\)：

\[ MTPA: I_d = \left\{\begin{matrix} - \frac{k_E}{2(L_d - L_q)} + sign(L_d - L_q) \sqrt{\left ( \frac{k_E}{2(L_d - L_q)} \right )^2 + I_q^2}, L_d \neq L_q\\ 0, L_d = L_q \end{matrix}\right. \]

其中：

\[ sign(x) = \left\{\begin{matrix} 1, x > 0\\ 0, x = 0\\ -1, x < 0 \end{matrix}\right. \]

弱磁情况下有\(I_d\):

\[ I_d = \left\{\begin{matrix} -\frac{k_E}{L_d}+ \frac{\sqrt{(\frac{U_{1-limit}}{\omega_e})^2 - (L_qI_q)^2}}{L_d}, \frac{U_{1-limit}}{\omega_e} \geq L_qI_q\\ n/a, \frac{U_{1-limit}}{\omega_e} < L_qI_q \end{matrix}\right. \]