基于反作用轮的 3D 倒立摆的非线性分析与控制
摘要
本文介绍了基于反作用轮的 3D 倒立摆 Cubli 的非线性分析和控制设计。 使用广义动量的概念,将基于反作用轮的 3D 倒立摆的关键特性与 1D 情况的特性进行比较,以提出相对简单和直观的非线性控制器。 最后,在 Cubli 上实现了所提出的控制器,并给出了实验结果
INTRODUCTION
本文介绍了图 1 所示 Cubli 的非线性分析和控制。Cubli 是一个边长为 150 mm 的立方体,三个反作用轮相互垂直安装。 与其他 3D 倒立摆试验台 [1] 和 [2] 相比,Cubli 具有两个独特的功能。 一是其占地面积相对较小(因此得名 Cubli,源自瑞士德语中“立方体”的缩略词)。 另一个特点是它能够在没有任何外部支撑的情况下从静止位置跳起来,通过突然制动以高角速度旋转的反作用轮。 在 [3] 中介绍了跳跃的概念,在 [4] 中介绍了线性控制器,本文重点分析非线性模型和非线性控制策略。
与 [5] 和 [6] 中提出的工作相反,本文从纯机械的角度来处理控制器设计。 Cubli 的基本机械特性被利用来提出具有物理洞察力的简单直观的推导([5]:1D,反作用轮,反馈线性化;[6]:3D,检测质量,线性控制器,局部稳定性)。 由此产生的平滑、渐近稳定的控制律提供了基于四个直观参数的相对简单的调整策略,从而使控制律适用于实际实现
本文的其余部分结构如下:第 II 节首先介绍了反作用轮基于一维倒立摆的简要非线性分析和控制。 接下来,非线性系统动力学是从第 III 节中的第一原理推导出来的,然后分别在第 IV 节和第 V 节中进行详细的分析和控制设计。 最后,实验结果在第六节中给出,结论在第七节中得出。
ANALYSIS AND CONTROL OF A 1D INVERTED PENDULUM
本节介绍了基于 1D 反作用轮倒立摆的分析和非线性控制策略。 由于 1D 和 3D 情况下某些关键属性的相似性,分析 3D 倒立摆在后面的部分。
Modelling
让
系统的拉格朗日 [7] 由下式给出:
其中
让 T 表示电机施加到反作用轮上的扭矩。 现在,可以使用欧拉-拉格朗日方程将扭矩 T 作为非势能推导出运动方程。 这产生:
请注意,(2)和(3)中广义动量的引入导致系统的简化表示,其中(4)类似于由(5)中的积分器增强的倒立摆。
由于反作用轮的实际位置并不重要,我们引入
Analysis
(1)状态空间:对于后续分析,状态空间定义为:
每个均衡都是一个封闭的不变量集,其常数
Control Design
控制器的目标是将倒立摆驱动到直立位置
现在,考虑以下反馈控制律:
其中:
定理 2.1:(10)中给出的控制律
证明:考虑下面的李雅普诺夫候选函数
where
由于
考虑
有关基于一维反作用轮的倒立摆的类似控制设计和稳定性证明,请参见 [10]。
Remarks
(1)、Lyapunov 函数 (11) 的解释:Lyapunov 函数 (11)
可以通过标准的反推方法 [9]、[10] 找到。 如果忽略反作用轮动力学并且假设 p
是控制输入,则函数
控制律(10)的解释:(10)中给出的控制律可以改写为 :
where :
这只不过是由比例、(双)微分和积分部分组成的线性控制器。 此外 $$可以解释为积分器权重。
SYSTEM DYNAMICS OF THE REACTION WHEEL-BASED 3D INVERTED PENDULUM
让
系统的拉格朗日由下式给出:
其中
导致运动方程由下式给出:
请注意,有多种推导运动方程的方法; 例如,在 [4] 中使用了虚拟功率的概念。 附录 2 显示了使用拉格朗日形式主义的推导,并强调了 1D 和 3D 情况之间的相似之处。 拉格朗日形式主义也激发了广义动量的引入。
现在,使用
这特别突出了 1D 和 3D 倒立摆之间的相似性。
由于向量的范数与其在坐标系中的表示无关,因此脉冲变化的 2 范数由
ANALYSIS
Conservation of Angular Momentum
从(19)可以看出
State Space
由于后续的分析和控制将在固定体坐标系中进行,状态空间定义为集合
$={x=(g, p_{{h}}, p{{w}}) ^{9} |g|{2}= 9.81}
Equilibria
该程序与第 II-B.2 小节中介绍的程序相同。 从 (19)
中可以看出,只有当
线性化表明,在李雅普诺夫的意义上,直立平衡点 E1 是不稳定的,而悬挂平衡点 E2 是稳定的。
NONLINEAR CONTROL OF THE REACTION WHEEL-BASED 3D INVERTED PENDULUM
让我们首先定义控制目标。 由于角动量
从 (19) 和角动量守恒,可以直接得出:
控制目标的另一个合理补充是 Cubli 的角速度 !h 渐近收敛到零。 因此,控制目标可以表述为将系统推向闭不变量:
为了证明渐近稳定性,必须排除悬挂平衡(稍后将变得清楚)。
这可以通过引入集合
接下来,考虑控制器:
where:
and
定理 5.1:(22)中给出的控制器使由(18)-(20)定义的系统的闭不变集
$$在
证明:考虑以下李雅普诺夫候选函数
with:
当
接下来,沿着闭环系统的轨迹评估
由于
为了证明集合
然而,由于