微积分（下）

原图

多元函数微分

多元函数及其邻域

二元函数的严格定义： 假设$D$是二维向量$(x,y)$的集合，$D$上的二元函数$f$是一个映射法则，它对$D$内的每一个有序对$(x,y)$指定唯一的一个实数：

$$z=f(x,y),(x,y)\in D$$

如果用$P$来代替$(x,y)$的话，也可以写作：

$$z=f(P),P\in D$$

$D$称为$f$的定义域，$x、y$（或$(x,y)$，或$P$）称为$f$的自变量，$z$称为$f$的因变量。

如果定义域$D$是更高维的向量的集合，也就是说自变量为更高维的向量，那么 $f$可以称为多元函数，也叫作多变量函数。

邻域和去心邻域：

二维向量的邻域要比一维向量的复杂。对于二维向量$P_0(x_0,y_0)$而言，半径为$\delta$ 邻域可以表示为平面点集：

$$U(P_0,\delta )=\{(x,y)|(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2<{\delta }^2\}$$

多元函数极限和连续

• 聚点： 如果对于任意给定的$\delta >0$，点$P$的去心邻域$\mathring{U}(P,\delta )$内总有平面点集$E$中的点，那么称点$P$为$E$的聚点。 定义聚点是为了保证，从$P_0(x_0,y_0)$的某去心邻域内的某一点$P(x,y)$出发，至少能找到一串完全在 E 中的点来靠近$P_0$

• 二元函数极限的定义： 设二元函数$f(x,y)$的定义域为$D，P_0(x_0,y_0)$是$D$的聚点。如果存在常数$L$，对于任意给定的正数$ϵ$，总存在正数$\delta$，使得当点$P(x,y)$满足下列条件时： $$(x,y)\in D\cap \mathring{U}(P_0,\delta )$$ 都有： $$|f(x,y)-L|<ϵ$$ 成立，那么就称常数$L$为函数$f(x,y)$当$(x,y)\to (x_0,y_0)$时的极限，记作： $$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=L\mathrm{或}、quadf(x,y)\to L((x,y)\to (x_0,y_0))$$ 因为这是二元函数的极限，所以也称作二重极限。

• 连续： 设二元函数$f(x,y)$的定义域为$D$，$P_0(x_0,y_0)$是$D$的聚点，且$P_0\in D$，如果： $$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=f(x_0,y_0)$$ 那么称函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$连续。

全微分

设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有定义，假设：

$$\mathrm{\Delta }x=x-x_0,\mathrm{\Delta }y=y-y_0$$

如果函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的全增量：

$$\mathrm{\Delta }z=f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)$$

可以表示为：

$$\mathrm{\Delta }z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\rho )=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+{ϵ}_1\mathrm{\Delta }x+{ϵ}_2\mathrm{\Delta }y$$

其中$A、B$不依赖于$\mathrm{\Delta }x、\mathrm{\Delta }y$，且：

$$\rho =\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2},\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{ϵ}_1=0,\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}{ϵ}_2=0$$

那么称$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微分，而$A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$称为$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的全微分（或称为切平面），记作$\mathrm{d}z$，即：

$$\mathrm{d}z=A\mathrm{d}x+B\mathrm{d}y$$

可以类比单变量微分的定义，单变量微积分是以直线代替曲线，双变量全微分是以平面代替曲线。

偏导数

• 关于$x$的偏导数： $${\frac{\partial f}{\partial x}|}_{(x_0,y_0)}={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x,y_0)|}_{x=x_0}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$

• 关于$y$的偏导数： $${\frac{\partial f}{\partial y}|}_{(x_0,y_0)}={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}f(x_0,y)|}_{y=y_0}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}$$

• 与全微分的关系： 如果函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微分，那么该函数在点$(x_0,y_0)$的偏导数$f_x(x_0,y_0)、f_y(x_0,y_0)$必定存在，且$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的全微分为： $$\mathrm{d}z=f_x(x_0,y_0)\mathrm{d}x+f_y(x_0,y_0)\mathrm{d}y$$

方向导数与梯度

对于二元函数$z=f(x,y)$，沿某单位向量：

$$\mathit{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$$

在$(x_0,y_0)$点的方向导数为：

$${\frac{\partial f}{\partial u}|}_{(x_0,y_0)}=\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(x_0+t{u}_1,y_0+t{u}_2)-f(x_0,y_0)}{t},t\in \mathbb{R}$$

单位向量还可以用该向量的方向余弦$\cos \alpha$和$\cos \beta$表示，即：

$$\mathit{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos \alpha \\ \cos \beta \end{array}\right)$$

所以方向导数也常表示为：

$${\frac{\partial f}{\partial u}|}_{(x_0,y_0)}=\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t},t\in \mathbb{R}$$

• 模长：该方向向量的模长是方向导数的最大值。
• 方向：该方向向量的方向正是取得最大方向导数的方向。
• 投影：它向某单位向量$\mathit{u}$的投影就是对应的方向导数。

该方向向量就称为梯度，记作：

$$\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)=gradf(x_0,y_0)=\left(\begin{array}{c}{f}_x(x_0,y_0)\\ f_y(x_0,y_0)\end{array}\right)=f_x(x_0,y_0)\mathit{i}+f_y(x_0,y_0)\mathit{j}$$

直观的理解就是：

• 沿着梯度向量方向走，能以最快的速度到达山顶。
• 逆着梯度向量方向走，能以最快的速度到达山脚。
• 和梯度向量方向垂直，此时坡度为 0，即不上山也不下山。

全导数

若$z=f(x,y)$是可微分的，而 x 和 y 是 t 的可导函数，则 z 是 t 的可导函数，并且：

$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$$

这个导数可以看作过切点的曲线的导数，所以又被称为全导数。

总结： $$\text{begin{aligned} ended with end{array}}$$

雅可比矩阵

• 二元函数的导数： 二元函数$z=f(x,y)$的微分，微分在$\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$坐标系中的方程为：

  $$\mathrm{d}z=f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y$$

  可以改写为矩阵的形式： $$\underset{{\mathit{d}}_{\mathit{z}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\mathrm{d}z\end{array}\right)}}=\underset{T}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}{f}_x& f_y\end{array}\right)}}\underset{{\mathit{d}}_{\mathit{x}\mathit{y}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}y\end{array}\right)}}$$

  或者写作：

  $${\mathit{d}}_{\mathit{z}}=T{\mathit{d}}_{\mathit{x}\mathit{y}}$$

• 一般的多元函数： $$y=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n),(y,x_1,x_2,\cdots ,x_n\in \mathbb{R})$$

  如果可微的话，那么微分方程为：

  $$\mathrm{d}y=f_{x_1}\mathrm{d}{x}_1+f_{x_2}\mathrm{d}{x}_2+\cdots +f_{x_n}\mathrm{d}{x}_n$$

  可以改写为矩阵的形式：

  $$\underset{{\mathit{d}}_{\mathit{y}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\mathrm{d}y\end{array}\right)}}=\underset{T}{\underbrace{\left(\begin{array}{cccc}{f}_{x_1}& f_{x_2}& \cdots & f_{x_n}\end{array}\right)}}\underset{{\mathit{d}}_{\mathit{x}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\mathrm{d}{x}_1\\ \mathrm{d}{x}_2\\ ⋮\\ \mathrm{d}{x}_b\end{array}\right)}}$$

  或者写作：

  $${\mathit{d}}_{\mathit{y}}=T{\mathit{d}}_{\mathit{x}}$$

  其中矩阵 T 就是该多元函数的导数。

• 二元方程组的导数： $$\{\begin{array}{l}\mathrm{d}z=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y\\ \\ \mathrm{d}w=\frac{\partial g}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial g}{\partial y}\mathrm{d}y\end{array}$$ 可以写成矩阵的形式： $$\underset{{\mathit{d}}_{\mathit{v}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\mathrm{d}z\\ \mathrm{d}w\end{array}\right)}}=\underset{T}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial f}{\partial x}& \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial g}{\partial x}& \frac{\partial g}{\partial y}\end{array}\right)}}\underset{{\mathit{d}}_{\mathit{u}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}y\end{array}\right)}}$$ 或者写作： $${\mathit{d}}_{\mathit{v}}=T{\mathit{d}}_{\mathit{u}}$$ 其中矩阵 T 就是该方程组所代表的函数的导数。

• 雅可比矩阵（多元方程组的导数矩阵）： 假如$f_1,f_2,\cdots ,f_n$都是$x_1,x_2,\cdots ,x_m$的函数，并且相对于各个自变量的偏微分都存在，那么定义 T 为： $$T=\frac{\partial (f_1,f_2,\cdots ,f_n)}{\partial (x_1,x_2,\cdots ,x_m)}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_m}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}& \frac{\partial f_n}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_m}\end{array}\right)$$ 该矩阵$T$称为雅可比矩阵。因为雅可比矩阵的英文名为 Jacobian Matrix，所以上述矩阵又常写作： $$J=\frac{\partial (f_1,f_2,\cdots ,f_n)}{\partial (x_1,x_2,\cdots ,x_m)}$$

• 海森矩阵： 一元导数$y=f(x)$的二阶导数就是连续两次使用$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$： $$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)$$ 类似的，二元函数$z=f(x,y)$的二阶导数就是连续两次计算雅可比矩阵： $$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial (x,y{)}^2}=\frac{\partial }{\partial (x,y)}\left(\frac{\partial z}{\partial (x,y)}\right)=\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}& f_{xy}\\ f_{yx}& f_{yy}\end{array}\right)$$ 二阶导数又称为海森矩阵（Hessian Matrix），所以常用 H 来表示这个矩阵： $$H=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial (x,y{)}^2}=\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}& f_{xy}\\ f_{yx}& f_{yy}\end{array}\right)$$ 海森矩阵可以判断图像的凹凸性。

此外关于隐函数的求导，多元函数的极值求法这里不再列出，详细可以参考相关书籍。

重积分

二重积分

设$f(x,y)$是有界闭区域$D$上的有界函数，将闭区域$D$任意分成$n$个小闭区域：

$$\mathrm{\Delta }{A}_1,\mathrm{\Delta }{A}_2,\cdots ,\mathrm{\Delta }{A}_i,\cdots ,\mathrm{\Delta }{A}_n$$

其中$\mathrm{\Delta }{A}_i$表示第$i$个小闭区域，也表示它的面积，规定$\mathrm{\Delta }{A}_i$中最长的直径（一个闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大者）为$\lambda$，在每个$\mathrm{\Delta }{A}_i$内任取一点$(x_i,y_i)$，可以得到级数：

$$\sum _{i=0}^{n}f(x_i,y_i)\mathrm{\Delta }{A}_i$$

如果当$\lambda \to 0$时，无论如何划分闭区域$D$，无论怎样选取$(x_i,y_i)$，该级数的极限总是存在，那么称此极限为函数$f(x,y)$在闭区域$D$上的二重积分，记作：

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}A=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=0}^{n}f(x_i,y_i)\mathrm{\Delta }{A}_i$$

其中$f(x,y)$称为被积函数，$\mathrm{d}A$称为面积微分，$x$与$y$称为积分变量，$D$称为积分区域。

二重积分的性质

设$f(x,y)，g(x,y)$都是有界闭区域$D$上的有界函数，$\alpha 、\beta$为常数，则：

• 齐次性： $${\iint }_D\alpha f(x,y)\mathrm{d}A=\alpha {\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}A$$

• 可加性： $${\iint }_D(f(x,y)+g(x,y))\mathrm{d}A={\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}A+{\iint }_{D}g(x,y)\mathrm{d}A$$

• 推论： $${\iint }_D(\alpha f(x,y)\pm \beta g(x,y))\mathrm{d}A=\alpha {\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}A\pm \beta {\iint }_{D}g(x,y)\mathrm{d}A$$

• 区域可加性： 如果闭区域$D$被有限条曲线分为有限个部分闭区域，那么$D$上的二重积分等于各部分闭区域上的二重积分之和。

• 二重积分中值定理： 设函数$f(x,y)$在闭区域$D$上连续，$A$是区域$D$的面积，则在$D$上至少存在一点$(\xi ,\mu )$，使得： $${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}A=f(\xi ,\mu )A$$

二重积分法

弱富比尼定理

设有矩形区域$R$：

$$R=\{(x,y)|a\le x\le b,c\le y\le d\}$$

若$f(x,y)$在区域$R$上连续，则：

$${\iint }_{R}f(x,y)\mathrm{d}A={\int }_c^d[{\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x]\mathrm{d}y={\int }_a^b[{\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y]\mathrm{d}x$$

将二重积分变为，先积 x 后积 y（或先积 y 后积 x）的二次积分。

强富比尼定理

若$f(x,y)$在区域$D$上连续：

• 若区域 D 为$a\le x\le b,g_1(x)\le y\le g_2(x)$，其中$g_1、g_2$在$[a,b]$上连续，则：

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}A={\int }_a^b[{\int }_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y]\mathrm{d}x$$

• 若区域 D 为$c\le y\le d,h_1(y)\le x\le h_2(y)$，其中$h_1、h_2$在$[c,d]$上连续，则：

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}A={\int }_c^d[{\int }_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x]\mathrm{d}y$$

可见，和富比尼定理的较弱形式不一样，这里是不能交换积分顺序的。

坐标系变换

有时候切换一下坐标系问题会变得简单的多，为此研究在坐标变换后的多重积分也是很有价值的。

在区域 D 上，如果$xy$直角坐标系和$uv$直角坐标系之间存在如下的坐标变换函数，且$x(u,v)、y(u,v)$在区域 D 上有一阶连续偏导数（这是为了保证可以找到最佳线性近似）：

$$\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\end{array}$$

如果雅可比行列式存在且不为 0：

$$|J|=|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}|=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|\ne 0$$

则区域 D 上在$xy$直角坐标系下的面积为：

$${\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_D\Vert J\Vert \mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

所以，$z=f(x,y)$在区域 D 上的体积为（在$xyz$直角坐标系下的体积）：

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{D}f(x(u,v),y(u,v))\Vert J\Vert \mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

三重积分

设$f(x,y,z)$是有界闭区域$\mathrm{\Omega }$上的有界函数，将闭区域$\mathrm{\Omega }$任意分成$n$个小闭区域：

$$\mathrm{\Delta }{V}_1,\mathrm{\Delta }{V}_2,\cdots ,\mathrm{\Delta }{V}_i,\cdots ,\mathrm{\Delta }{V}_n$$

其中$\mathrm{\Delta }{V}_i$表示第$i$个小闭区域，也表示它的体积，规定$\mathrm{\Delta }{V}_i$中最大的体积为$\lambda$：

$$\lambda =max(\mathrm{\Delta }{V}_i)$$

在每个$\mathrm{\Delta }{V}_i$内任取一点$({\xi }_i,{\mu }_i,{\zeta }_i)$，可以得到级数：

$$\sum _{i=0}^{n}f({\xi }_i,{\mu }_i,{\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{V}_i$$

如果当$\lambda \to 0$时，无论如何划分闭区域$\mathrm{\Omega }$，无论怎样选取$({\xi }_i,{\mu }_i,{\zeta }_i)$，该级数的极限总是存在，那么称此极限为函数$f(x,y,z)$在闭区域$\mathrm{\Omega }$上的三重积分，记作：

$${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)\mathrm{d}V=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=0}^{n}f({\xi }_i,{\mu }_i,{\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{V}_i$$

其中$f(x,y,z)$称为被积函数，$\mathrm{d}V$称为体积微分，$x、y$以及$z$称为积分变量，$\mathrm{\Omega }$称为积分区域。

三重积分法

富比尼定理

区域 E 可以表示为： $$E=\{(x,y,z)|a\le x\le b,g_1(x)\le y\le g_2(x),u_1(x,y)\le z\le u_2(x,y)\}$$

那么通过富比尼定理，函数$f(x,y,z)$在区域 E 上的三重积分可以如下计算：

$$\begin{array}{rl}{\iiint }_{E}f(x,y,z)\mathrm{d}V& ={\iint }_D[{\int }_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z]\mathrm{d}A\\ & ={\int }_a^b{\int }_{g_1(x)}^{g_2(x)}{\int }_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}y\mathrm{d}x\end{array}$$

这样就将三重积分划为了方便计算的三次积分。

坐标系变换

同样变换坐标系是为了简化问题。这里直接给出坐标系变换积分公式：

• 柱面坐标系的体积微分： 通过雅可比行列式$|J|$，可得柱面坐标系函数$w=f(\rho ,\theta ,z)$在区域 $\mathrm{\Omega }$上的三重积分为：

  $$\begin{array}{rl}{\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(\rho ,\theta ,z)\mathrm{d}V& ={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(\rho ,\theta ,z)\Vert J\Vert \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z\\ & ={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(\rho ,\theta ,z)\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z\end{array}$$

  其中$\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$称为柱面坐标系的 体积微分。

• 球面坐标系的体积微分： 通过雅可比行列式$|J|$，可得球面坐标系函数$w=f(r,\phi ,\theta )$在区域$\mathrm{\Omega }$上的三重积分为： $$\begin{array}{rl}{\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(r,\phi ,\theta )\mathrm{d}V& ={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(r,\phi ,\theta )\Vert J\Vert \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta \\ & ={\iint }_{\mathrm{\Omega }}\iint (r,\phi ,\theta )r^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta \end{array}$$

  其中$r^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta$称为球面坐标系的体积微分。

曲线积分与曲面积分

第一类曲线积分

设$L$为$xOy$面内的一条光滑曲线弧，函数$f(x,y)$在$L$上有界。在$L$上任意插入一点列$P_0、P_1，\cdots 、P_n$，把$L$分成$n$个小段。设第$k$个小段的长度为$\mathrm{\Delta }{s}_k$。又$({\xi }_k,{\eta }_k)$为第$k$个小段上任意取定的一点，做乘积$f({\xi }_k,{\eta }_k)\mathrm{\Delta }{s}_k$，并作和：

$$\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\mathrm{\Delta }{s}_k$$

如果当各小弧段的长度的最大值$\lambda \to 0$时，这和的极限总是存在，且与曲线$L$的分法及点$({\xi }_k,{\eta }_k)$的取法无关，那么称此极限为函数$f(x,y)$在曲线$L$上的第一类曲线积分，记作：

$${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\mathrm{\Delta }{s}_k$$

其中$\mathrm{d}s$称为弧微分。

• 物理意义： 第一类曲线积分的物理意义还是很明显的，之前介绍过，如果$\mu (x,y)$是曲线$L$的密度函数时，如下计算的是曲线质量： $$m={\int }_L\mu (x,y)\mathrm{d}s$$ 而如果$\delta (x,y)$是曲线$L$的电荷密度函数，那么如下计算的就是曲线的电荷量： $$c={\int }_L\delta (x,y)\mathrm{d}s$$

• 几何意义： 第一类曲线积分${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$的几何意义就是求曲线 L 与曲面$z=f(x,y)$之间的面积：

• 性质：

  • 性质 1：设$\alpha 、\beta$为常数，则： $${\int }_L[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]\mathrm{d}s=\alpha {\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s+\beta {\int }_{L}g(x,y)\mathrm{d}s$$

  • 性质 2：设光滑曲线$L$可分为两个光滑曲线$L_1$和$L_2$，则： $${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_{L_1}f(x,y)\mathrm{d}s+{\int }_{L_2}f(x,y)\mathrm{d}s$$

  • 性质 3：设在光滑曲线 L 上有$f(x,y)\le g(x,y)$，则： $${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s\le {\int }_{L}g(x,y)\mathrm{d}s$$

第二类曲线积分

设$L$为$xOy$面内从$A$点到$B$点的一条光滑曲线弧，函数$P(x,y)、Q(x,y)$在$L$上有界。在$L$上任意插入一点列$P_0、P_1，\cdots 、P_n$，把$L$分成$n$个有向小弧段：

$$\overbrace{P_{k-1}{P}_k},(k=1,2,\cdots ,n,P_0=A,P_n=B)$$

设$\mathrm{\Delta }{x}_k=x_k-x_{k-1}，\mathrm{\Delta }{y}_k=y_k-y_{k-1}$，点$({\xi }_k,{\eta }_k)$为$\overbrace{P_{k-1}{P}_k}$上任意取定的点，做乘积$P({\xi }_k,{\eta }_k)\mathrm{\Delta }{x}_i$，并作和：

$$\sum _{k=1}^{n}P({\xi }_k,{\eta }_k)\mathrm{\Delta }{x}_k,\sum _{k=1}^{n}Q({\xi }_k,{\eta }_k)\mathrm{\Delta }{y}_k$$

如果当各小弧段的长度的最大值$\lambda \to 0$时，和的极限总是存在，且与曲线$L$的分法及点$({\xi }_k,{\eta }_k)$的取法无关，就称这两个极限为$P(x,y)$在有向曲线$L$ 上对坐标$x$ 的曲线积分：

$${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{k=1}^{n}P({\xi }_k,{\eta }_k)\mathrm{\Delta }{x}_k$$

以及$Q(x,y)$在有向曲线$L$ 上对坐标$y$ 的曲线积分：

$${\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{k=1}^{n}Q({\xi }_k,{\eta }_k)\mathrm{\Delta }{y}_k$$

以上两个积分也称为第二类曲线积分。

• 性质：

  • 性质 1：设$\alpha 、\beta$为常数，则： $${\int }_L[\alpha {\mathit{F}}_{\mathbf{1}}(x,y)+\beta {\mathit{F}}_{\mathbf{2}}(x,y)]\cdot \mathrm{d}\mathit{s}=\alpha {\int }_L{\mathit{F}}_{\mathbf{1}}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathit{s}+\beta {\int }_L{\mathit{F}}_{\mathbf{2}}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathit{s}$$

  • 性质 2：设有向光滑曲线$L$可分为两个光滑有向曲线$L_1$和$L_2$，则： $${\int }_L\mathit{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathit{s}={\int }_{L_1}\mathit{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathit{s}+{\int }_{L_2}\mathit{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathit{s}$$

  • 性质 3：设$L$是有向光滑曲线，$L^{-}$是$L$的反向曲线，则： $${\int }_L\mathit{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathit{s}=-{\int }_{L^{-}}\mathit{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathit{s}$$

两类曲线积分的关系

区别

• 第一类曲线积分针对的是曲线，而第二类曲线积分针对的是有向曲线。
• 第一类曲线积分，作用在曲线上的是标量；而第二类曲线积分，作用在曲线上的是向量。

联系

因为弧微分和有向弧微分的关系为$\mathit{\tau }\mathrm{d}s=\mathrm{d}\mathit{s}$，所以：

$${\int }_L\mathit{F}\cdot \mathit{\tau }\mathrm{d}s={\int }_L\mathit{F}\cdot \mathrm{d}\mathit{s}$$

左边为第一类曲线积分，右边为第二类曲线积分，可见这两类积分是可以互相转化的。

二维的散度和旋度

通量

在连续向量场$\mathit{F}=P\mathit{i}+Q\mathit{j}$中的光滑闭曲线$L$，$\mathit{n}$为光滑闭曲线$L$的单位法向量（指向闭曲线外部），则$\mathit{F}$穿过$L$的流量，即通量为：

$${\oint }_L\mathit{F}\cdot \mathit{n}\mathrm{d}s={\oint }_{L}P\mathrm{d}y-Q\mathrm{d}x$$

需要注意的是，上式从第一类曲线积分变为了第二类曲线积分，曲线的方向为逆时针。

散度

已知水流量为向量场$\mathit{F}$。用曲线$L_A$来表示 A 圆，那么 A 圆的通量为：

$$T_A={\oint }_{L_A}\mathit{F}\cdot \mathit{n}\mathrm{d}s$$

假设 A 圆对应的面积为${\mathrm{\Omega }}_A$，圆缩到最小即${\mathrm{\Omega }}_A\to 0$，同时再除上面积${\mathrm{\Omega }}_A$，就得到了$A$点在向量场$\mathit{F}$中的通量密度，也称为 A 点在向量场$\mathit{F}$中的散度，即：

$$\mathrm{div}\mathit{F}(A)=\underset{{\mathrm{\Omega }}_A\to 0}{lim}\frac{1}{{\mathrm{\Omega }}_A}{\oint }_{L_A}\mathit{F}\cdot \mathit{n}\mathrm{d}s$$

同样的，也可以算出 C 点的散度$\mathrm{div}\mathit{F}(C)$，两者谁大，就说明哪个水龙头的出水量更大。

环量

在连续向量场$\mathit{F}=P\mathit{i}+Q\mathit{j}$中的光滑闭曲线$L$，$\mathit{\tau }$为光滑闭曲线$L$的单位切向量$\mathit{\tau }$（指向逆时针方向），则$\mathit{F}$对于$L$的环量为：

$${\oint }_L\mathit{F}\cdot \mathit{\tau }\mathrm{d}s={\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$

需要注意的是，上式从第一类曲线积分变为了第二类曲线积分，曲线的方向为逆时针。

旋度

已知水流量为向量场$\mathit{F}$。用曲线$L_A$来表示$A$圆，那么$A$圆的环量为：

$$H_A={\oint }_{L_A}\mathit{F}\cdot \mathit{\tau }\mathrm{d}s$$

可见，环量会受到圆的大小的影响，所以来排除掉这个影响。假设 A 圆对应的面积为${\mathrm{\Omega }}_A$，圆缩到最小即${\mathrm{\Omega }}_A\to 0$，同时再除上面积${\mathrm{\Omega }}_A$，就得到了$A$点在向量场$\mathit{F}$中的环量密度，也称为$A$点在向量场$\mathit{F}$中的旋度，即：

$$\mathrm{curl}\mathit{F}(A)=\underset{{\mathrm{\Omega }}_A\to 0}{lim}\frac{1}{{\mathrm{\Omega }}_A}{\oint }_{L_A}\mathit{F}\cdot \mathit{\tau }\mathrm{d}s$$

格林公式

格林公式的通量形式：

某光滑闭曲线 L 围成闭区域 D，定义在闭区域 D 上的向量场$\mathit{F}=P\mathit{i}+Q\mathit{j}$，它的分量具有一阶连续偏导数，则$\mathit{F}$关于 L 的通量，可通过闭区域 D 上的散度求出：

$$\underset{\text{闭曲线的通量 }}{\underbrace{{\oint }_L\mathit{F}\cdot \mathit{n}\mathrm{d}s={\oint }_{L}P\mathrm{d}y-Q\mathrm{d}x}}=\underset{\text{闭曲线围成区域的通量之和 }}{\underbrace{{\iint }_D\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y}}$$

格林公式的环量形式：

某光滑闭曲线 L 围成闭区域 D，定义在闭区域 D 上的向量场$\mathit{F}=P\mathit{i}+Q\mathit{j}$，它的分量具有一阶连续偏导数，则$\mathit{F}$关于 L 的环量，可通过闭区域 D 上的旋度求出：

$$\underset{\text{闭曲线的环量 }}{\underbrace{{\oint }_L\mathit{F}\cdot \mathit{\tau }\mathrm{d}s={\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y}}=\underset{\text{闭曲线围成区域的环量之和 }}{\underbrace{{\iint }_D\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y}}$$

二重积分的基本定理

$${\iint }_D\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\oint }_{\partial D}P\mathrm{d}y-Q\mathrm{d}x$$

第一类曲面积分

设$\mathrm{\Sigma }$为三维空间中的一个光滑曲面，函数$f(x,y)$在$\mathrm{\Sigma }$上有界。把$\mathrm{\Sigma }$上任意分为$n$个小曲面，第$k$个小曲面为$\mathrm{\Delta }{S}_k$（该小曲面的面积也同样由$\mathrm{\Delta }{S}_k$来表示）。设 (${\xi }_k,{\eta }_k$) 是$\mathrm{\Delta }{S}_k$上任意取的一点，做乘积$f({\xi }_k,{\eta }_k)\mathrm{\Delta }{S}_k$，并作和：

$$\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\mathrm{\Delta }{S}_k$$

如果当各小曲面的面积的最大值$\lambda \to 0$时，和的极限总是存在，且与曲面$\mathrm{\Sigma }$的分法及点$({\xi }_k,{\eta }_k)$的取法无关，就称这此极限为$f(x,y)$在曲面$\mathrm{\Sigma }$上的第一类曲面积分：

$${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}f(x,y)\mathrm{d}S=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\mathrm{\Delta }{S}_k$$

其中$\mathrm{d}S$称为曲面微分。

第二类曲面积分

假设太阳表面为闭球面$\mathrm{\Sigma }$，将所有的小曲面的通量加起来就得到闭球面$\mathrm{\Sigma }$的通量，也就是太阳的通量：

$${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}\mathit{F}\cdot \mathit{n}\mathrm{d}S$$

其中单位法向量$\mathit{n}$和面积微分$\mathrm{d}S$组成了有向曲面，也称为有向面积微分：

$$\mathit{n}\mathrm{d}S=\mathrm{d}\mathit{S}$$

所以闭球面$\mathrm{\Sigma }$的通量又可以写作：

$${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}\mathit{F}\cdot \mathit{n}\mathrm{d}S={\iint }_{\mathrm{\Sigma }}\mathit{F}\cdot \mathrm{d}\mathit{S}$$

上述积分是向量场$\mathit{F}$在有向面积$\mathrm{\Sigma }$上的积分，称为第二类曲面积分。

三维的散度和旋度

散度

假设闭曲面$\mathrm{\Sigma }$围成的体积为$V$，和二维的情况一样，通量的密度就是散度：

$$\mathrm{div}\mathit{F}=\underset{V\to 0}{lim}\frac{1}{V}{\text{oiint}}_{\mathrm{\Sigma }}\mathit{F}\cdot \mathit{n}\mathrm{d}S$$

假设向量场为$\mathit{F}=P\mathit{i}+Q\mathit{j}+R\mathit{k}$，可以证明散度还有一个偏导形式（较复杂，证明略）：

$$\mathrm{div}\mathit{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

旋度

假设三维向量场为$\mathit{F}=P\mathit{i}+Q\mathit{j}+R\mathit{k}$，那么以下向量就为三维空间中的旋度：

$$\mathrm{curl}\mathit{F}=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\mathit{i}+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\mathit{j}+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathit{k}$$

该向量的模就是环量密度，方向就是旋转轴向量。

格林公式新形式

通过$\mathrm{\nabla }$算子，格林公式的通量形式可以改写为：

$${\oint }_{\partial D}\mathit{F}\cdot \mathit{n}\mathrm{d}s={\iint }_D\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{F}\mathrm{d}A$$

环量形式可以改写为：

$${\oint }_{\partial D}\mathit{F}\cdot \mathit{\tau }\mathrm{d}s={\iint }_D\mathrm{\nabla }\times \mathit{F}\cdot \mathit{k}\mathrm{d}A$$

环量公式中的$\mathit{k}\mathrm{d}A$，其中$\mathrm{d}A$指的是$xy$面上的平面，$\mathit{k}$是$z$轴的单位方向向量，也就是$\mathrm{d}A$的单位法向量：

因此$\mathit{k}\mathrm{d}A$其实表示的是有向平面：

$$\mathit{k}\mathrm{d}A=\mathrm{d}\mathit{A}$$

进而，格林公式的环量形式还可以改写为第二类曲面积分的形式：

$${\oint }_{\partial D}\mathit{F}\cdot \mathit{\tau }\mathrm{d}s={\iint }_D\mathrm{\nabla }\times \mathit{F}\cdot \mathrm{d}\mathit{A}$$

高斯公式和斯托克斯公式

高斯公式

存在有向光滑闭曲面（或者由几片有向光滑曲面组成）$\partial \mathrm{\Omega }$，该曲面的正方向$\mathit{n}$指向外部。闭曲面$\partial \mathrm{\Omega }$围成空间闭区域$\mathrm{\Omega }$，在该闭区域$\mathrm{\Omega }$上定义有向量函数$\mathit{F}$，它的各个分量具有一阶连续偏导数。那么有：

$$\underset{\partial {\int }_{\text{闭曲面的通量 }}}{\underbrace{{\int }_{\mathit{F}}\mathit{F}\cdot \mathit{n}\mathit{d}S}}=\underset{\text{闭曲面围成区域的通量之和 }}{\underbrace{{\iiint }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{div}\mathit{F}\mathrm{d}V={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{F}\mathrm{d}V}}$$

该定理称为高斯公式或者散度定理。

斯托克斯公式

假设存在有向光滑闭曲线（或者由几个有向光滑曲线组成）$\partial \mathrm{\Sigma }$，该有向曲线$\partial \mathrm{\Sigma }$为有向光滑曲面（或者由几个有向光滑曲面组成）$\mathrm{\Sigma }$的边界，且有向曲线$\partial \mathrm{\Sigma }$的方向$\mathit{\tau }\mathrm{与}、Sigma$的正向$\mathit{n}$符合右手法则。在该有向曲面$\mathrm{\Sigma }$上定义有向量函数$\mathit{F}$，它的各个分量具有一阶连续偏导数。那么有：

$$\underset{\text{有向闭曲线的环量 }}{\underbrace{{\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }}\mathit{F}\cdot \mathit{d}s}}=\underset{\text{有向闭曲线围成有向曲面的环量之和 }}{\underbrace{{\iint }_{\mathrm{\Sigma }}\mathrm{curl}\mathit{F}\cdot \mathrm{d}\mathit{S}={\iint }_{\mathrm{\Sigma }}\mathrm{\nabla }\times \mathit{F}\cdot \mathrm{d}\mathit{S}}}$$

该定理称为斯托克斯公式。

小结

在二维平面中，格林公式有两种形式，通量形式和环量形式：

$$\begin{array}{c}{\oint }_{\partial D}\mathit{F}\cdot \mathit{n}\mathrm{d}s={\iint }_D\mathrm{div}\mathit{F}\mathrm{d}A={\iint }_D\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{F}\mathrm{d}A\\ {\oint }_{\partial D}\mathit{F}\cdot \mathit{\tau }\mathrm{d}s={\iint }_D\mathrm{curl}\mathit{F}\cdot \mathrm{d}\mathit{A}={\iint }_D\mathrm{\nabla }\times \mathit{F}\cdot \mathrm{d}\mathit{A}\end{array}$$

在三维空间中，通量形式扩展为了高斯公式：

$${\text{oiint}}_{\partial \mathrm{\Omega }}\mathit{F}\cdot \mathit{n}\mathrm{d}S={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{div}\mathit{F}\mathrm{d}V={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{F}\mathrm{d}V$$

环量形式扩展为了斯托克斯公式：

$${\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }}\mathit{F}\cdot \mathit{\tau }\mathrm{d}s={\iint }_{\mathrm{\Sigma }}\mathrm{curl}\mathit{F}\cdot \mathrm{d}\mathit{S}={\iint }_{\mathrm{\Sigma }}\mathrm{\nabla }\times \mathit{F}\cdot \mathrm{d}\mathit{S}$$

关于无穷级数这里不列出了，后面在数学物理方法中再列出。

参考文献

《马同学的多变量微积分课程》
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